以下是一个涉及多元微积分和张量分析的复杂数学公式示例： 设$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$是一个定义在$n$维欧几里得空间$\mathbb{R}^n$上的光滑标量函数，其梯度记为$ abla f = (f_{x_1}, f_{x_2}, \cdots, f_{x_n})$，其中$f_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i}$表示$f$关于变量$x_i$的偏导数。又设$g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$是一个从$n$维空间到$m$维空间的光滑向量场，可表示为$g(x) = (g_1(x), g_2(x), \cdots, g_m(x))^T$，其中每个分量函数$g_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$也都是光滑函数。 考虑一个二阶张量场$A : \mathbb{R}^n \to \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$，它将每个点$x \in \mathbb{R}^n$映射到一个从$\mathbb{R}^n$到自身的线性变换（可以看作一个$n \times n$矩阵）。 我们要计算如下复杂的表达式： $$\int_{\Omega} \left[ ( abla \otimes abla f) : A - \text{Tr}(A abla g) + \det(A) e^{ abla \cdot g} \right] dV$$ 其中： - $\Omega$是$\mathbb{R}^n$中的一个有界开集，且具有足够光滑的边界，以便积分有意义。 - $ abla \otimes abla f$表示$f$的梯度与自身的张量积，结果是一个二阶张量，其分量为$(f_{x_i x_j})_{i, j = 1, 2, \cdots, n}$。 - $( abla \otimes abla f) : A$表示二阶张量$ abla \otimes abla f$与二阶张量$A$的双点积（也称为内蕴或缩并），定义为$( abla \otimes abla f) : A = \sum_{i, j = 1}^{n} f_{x_i x_j} A_{ij}$。 - $\text{Tr}(A abla g)$表示矩阵$A$与向量$ abla g$的乘积所得矩阵的迹，即$\text{Tr}(A abla g) = \sum_{i = 1}^{n} (A abla g)_{ii}$。 - $ abla \cdot g$表示向量场$g$的散度，定义为$ abla \cdot g = \sum_{i = 1}^{n} g_{x_i}(x)$。 - $dV$表示$\mathbb{R}^n$中的体积元素。 这个公式综合了多种高级数学概念，包括高阶张量运算、矩阵运算、向量微积分以及在区域上的积分，在连续介质力学、电磁学以及微分几何等领域都有潜在的应用背景，用于描述诸如应力应变关系、电磁场的能量密度以及其他复杂的物理现象。