柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）在函数形式下，对于任意两个可积函数$f(x)$和$g(x)$，有： $$\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx\right)^2 \leq \left(\int_{a}^{b} f^2(x) \, dx\right)\left(\int_{a}^{b} g^2(x) \, dx\right)$$ 这个不等式表明，如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a, b]$上可积，那么它们的乘积的积分范数平方小于等于它们各自积分范数平方的乘积。 因此，对于给定的问题，我们有： $$\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx\right)^2 \leq \left(\int_{a}^{b} f^2(x) \, dx\right)\left(\int_{a}^{b} g^2(x) \, dx\right)$$ 这是柯西-施瓦茨不等式在函数形式下的直接表述。