### 柯西分布的概率密度函数 1. **公式** - 对于随机变量 $X$ 服从柯西分布，其概率密度函数（pdf）为： \[ f(x)={\begin{cases} \frac{1}{\pi}\left(1+\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)^{-1}, & x \in \mathbb{R} \\ 0, & x \notin \mathbb{R} \end{cases}} \] - 其中，$\mu$ 是位置参数，表示分布的中心位置；$\sigma$ 是尺度参数，且 $\sigma > 0$。 2. **应用场景和意义** - 柯西分布在物理中有一些应用，比如在共振现象的研究中。在金融领域，也用于描述一些具有尖峰厚尾特征的资产收益率分布。与正态分布相比，柯西分布的尾部更厚，意味着出现极端值的概率相对较大。它的期望和方差是不存在的，这是因为尾部的衰减太慢，这使得柯西分布在一些需要考虑极端情况的模型中有特殊的价值。