好的，这里有一个更为复杂的数学公式： $$ \int_{0}^{1} \left( x^{2} + 2x + 1 \right) e^{-x^2} \, dx $$ ### 解析 这个积分表达式包含了多项式和指数函数的乘积。我们可以对其进行逐步解析。 1. **被积函数分析**： 被积函数是 $ (x^2 + 2x + 1)e^{-x^2} $，其中 $x^2 + 2x + 1$ 可以重写为 $(x+1)^2$。因此，被积函数变为 $(x+1)^2 e^{-x^2}$。 2. **展开与简化**： 将 $(x+1)^2$ 展开，我们得到： $$ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 $$ 于是原积分变为： $$ \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1)e^{-x^2} \, dx $$ 3. **分解积分**： 可以将积分分成三个部分： $$ \int_{0}^{1} x^2 e^{-x^2} \, dx + \int_{0}^{1} 2x e^{-x^2} \, dx + \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx $$ 4. **逐项计算**： - 对于 $\int_{0}^{1} x^2 e^{-x^2} \, dx$： 使用分部积分法或者查表可得： $$ \int x^2 e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2} x e^{-x^2} - \frac{1}{2} \int e^{-x^2} \, dx $$ 代入边界后计算。 - 对于 $\int_{0}^{1} 2x e^{-x^2} \, dx$： 令 $u = -x^2$，则 $du = -2x \, dx$，于是： $$ \int 2x e^{-x^2} \, dx = -\int e^u \, du = -e^{-x^2} $$ 代入边界后计算。 - 对于 $\int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx$： 这是一个标准的高斯积分，通常需要数值方法求解。 5. **合并结果**： 将各项结果相加即可得到最终答案。 由于这些积分涉及一些较为复杂的运算，具体的数值解可能需要借助计算器或数值积分工具来完成。不过，通过上述步骤，我们能够系统地解析并理解这个复杂的数学公式。