4. 设 \( f(x) = e^x + \cos x \)，求 \( T(f) \)。### 复杂数学题：嵌套函数与极限证明 \( V \) 可以分解为 \( \ker T \) 和 \( \text{im} T \) 的的多变量微积分问题 直和，并将 \( f \) 表示为这两个子空间中元素的直和。 **题目**： 设 $f(x, y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的二元函数，满足以下条件： 1.5. 讨论 \( V \) 在 \( T \) 作用下的不变子空间。 --- ### 题目复杂性分析 $f(x, y) = x^2 + y^2 + g(x, y)$，其中 $g(x, y)$ 是一个二次连续可微函数。 2.1. **线性算子的证明**：基础但必要的验证。 2. **核和像的计算**：需要解微分方程，理解线性算子的结构。 $g_x(0,0) = g_y(0,0) = 0$，即 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数为零。 3.3. **特征值和特征空间**：涉及微分算子的特征值问题，需要解常微分方程。 4. **直和分解**：需要理解线性代数的直和概念，并能具体应用到函数空间。 $g_{xx}(0,0) = a$，$g_{yy}(0,0) = b$，且 $g_{xy}(0,0) = c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数。 5. **不变子空间**：需要识别在 \( T \) 下保持不变的子空间，涉及对 \( T \) 作用的深入4. $h(u, v) = f(u+v, u-v)$。 （1）求 $h(u, v)$ 的表达式（用 $u$、$v$ 和 $a$、$b$、$c$ 表示）。 理解。 这个题目综合了线性代数、微分方程和函数空间的知识，需要较强的数学能力和综合运用能力，因此可以认为是一个复杂的数学题。 （2）计算 $\frac{\partial h}{\partial u}(0,0)$ 和 $\frac{\partial h}{\partial v}(0,0)$。 （3）若 $\lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \frac{h(u,v) - h(0,0)}{u^2 + v^2} = k$（其中 $k$ 是常数），求 $k$ 的值。 **解答**： （1）首先，将 $h(u, v)$ 用 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 的定义代入： $$h(u, v) = f(u+v, u-v) = (u+v)^2 + (u-v)^2 + g(u+v, u-v).$$ 展开并合并同类项，得： $$h(u, v) = u^2 + 2uv + v^2 + u^2 - 2uv + v^2 + g(u+v, u-v) = 2u^2 + 2v^2 + g(u+v, u-v).$$ （2）为了求 $\frac{\partial h}{\partial u}(0,0)$ 和 $\frac{\partial h}{\partial v}(0,0)$，我们首先需要对 $h(u, v)$ 求偏导。利用链式法则，我们有： $$\frac{\partial h}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u},$$ 其中 $x = u+v$ 和 $y = u-v$。因此，$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$ 和 $\frac{\partial y}{\partial u} = 1$。同理，$\frac{\partial h}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$，其中 $\frac{\partial x}{\partial v} = 1$ 和 $\frac{\partial y}{\partial v} = -1$。 由于 $f_x(0,0) = 0$ 和 $f_y(0,0) = 0$（由 $g_x(0,0) = g_y(0,0) = 0$ 得出），我们有： $$\frac{\partial h}{\partial u}(0,0) = f_x(0+0, 0-0) \cdot 1 + f_y(0+0, 0-0) \cdot 1 = 0,$$ $$\frac{\partial h}{\partial v}(0,0) = f_x(0+0, 0-0) \cdot 1 + f_y(0+0, 0-0) \cdot (-1) = 0.$$ （3）考虑极限 $\lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \frac{h(u,v) - h(0,0)}{u^2 + v^2}$。由于 $h(0,0) = 2(0)^2 + 2(0)^2 + g(0,0) = g(0,0)$，我们可以重写极限为： $$\lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \frac{2u^2 + 2v^2 + g(u+v, u-v) - g(0,0)}{u^2 + v^2}.$$ 利用 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的泰勒展开式，我们有： $$g(u+v, u-v) \approx g(0,0) + g_x(0,0)(u+v) + g_y(0,0)(u-v) + \frac{1}{2}[g_{xx}(0,0)(u+v)^2 + 2g_{xy}(0,0)(u+v)(u-v) + g_{yy}(0,0)(u-v)^2].$$ 由于 $g_x(0,0) = g_y(0,0) = 0$，这简化为： $$g(u+v, u-v) \approx g(0,0) + \frac{1}{2}[a(u+v)^2 + 2c(u+v)(u-v) + b(u-v)^2].$$ 进一步展开并合并同类项，得： $$g(u+v, u-v) \approx g(0,0) + \frac{1}{2}[au^2 + 2av^2 + bu^2 + 2bu^2 + av^2 + b(u^2 - 2uv + v^2)] = g(0,0) + \frac{1}{2}[(a+b)u^2 + (a+b)v^2] = g(0,0) + \frac{1}{2}(a+b)(u^2 + v^2).$$ 代回原极限表达式，我们得到： $$\lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \frac{2u^2 + 2v^2 + g(0,0) + \frac{1}{2}(a+b)(u^2 + v^2) - g(0,0)}{u^2 + v^2} = \lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \frac{2u^2 + 2v^2 + \frac{1}{2}(a+b)(u^2 + v^2)}{u^2 + v^2} = \lim\limits_{(u,v) \to (0,0)} \left[2 + \frac{1}{2}(a+b)\right] = 2 + \frac{1}{2}(a+b).$$ 因此，$k = 2 + \frac{1}{2}(a+b)$。