4. 设 \( f(x) = e^x + \cos x \)，求 \( T(f) \)。### 复杂数学题：嵌套函数与极限证明 \( V \) 可以分解为 \( \ker T \) 和 \( \text{im} T \) 的的多变量微积分问题 直和，并将 \( f \) 表示为这两个子空间中元素的直和。 **题目**： 设 $f(x, y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的二元函数，满足以下条件： 1.5. 讨论 \( V \) 在 \( T \) 作用下的不变子空间。 --- ### 题目复杂性分析 $f(x, y) = x^2 + y^2 + g(x, y)$，其中 $g(x, y)$ 是一个二次连续可微函数。 2.1. **线性算子的证明**：基础但必要的验证。 2. **核和像的计算**：需要解微分方程，理解线性算子的结构。 $g_x(0,0) = g_y(0,0) = 0$，即 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数为零。 3.3. **特征值和特征空间**：涉及微分算子的特征值问题，需要解常微分方程。 4. **直和分解**：需要理解线性代数的直和概念，并能具体应用到函数空间。 $g_{xx}(0,0) = a$，$g_{yy}(0,0) = b$，且 $g_{xy}(0,0) = c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数。 5. **不变子空间**：需要识别在 \( T \) 下保持不变的子空间，涉及对 \( T \) 作用的深入4. $h(u, v) = f(u+v, u-v)$。 （1）求 $h(u, v)$ 的表达式（用 $u$、$v$ 和 $a$、$b$、$c$ 表示）。 理解。 这个题目综合了线性代数、微分方程和函数空间的知识，需要较强的数学能力和综合运用能力，因此可以认为是一个复杂的数学题。